sistem persamaan linier dekomposisi Matriks metode crout

 Dekomposisi Matriks

Dekomposisi  merupakan salah satu solusi yang digunakan pada

matriks untuk menyelesaikan permasalahan mencari nilai Determinan Matriks.

Dekomposisi matriks menguraikan matriks Non-Singular menjadi 2 bagian, yaitu

Matriks Segitiga Bawah [L] (Lower) dan Matriks Segitiga Atas [U] (Upper).

A =    a11  a12   a13  . . a1n

         a21   a22   a23  . . a2n

         a31   a32   a33 . . a3n

        . .        . .     ..     .. a4n

        an1    an2  an3      a5n

=    1     0     0     . .     0                    u11    u12    u13    ..    uln

    l21    1     0     . .     0                      0      u22    u23    ..    u2n

    l31    l31    1    ..    0                       0        0      u33    ..    u3n

    ..        ..    ..    1        0                    ..          ..        ..    ..        0

    ln1    ln2    ln3    ..    1                    0        0        0    ..        unn

Dekomposisi Matriks

Dekomposisi matriks pada penyelesaian Determinan memiliki langkah umum :

    -Bentuk Matriks L dan U dari [A]

    -Menghitung Nilai Determinan

Adapun pada dekomposisi matriks terdapat 2 metode untuk penyelesaiannya, yaitu

-Metode Crout

-Metode Doolittle

    Mencari nilai determinan matriks menggunakan Dekomposisi Metode Crout

terlebih dahulu mencari bentuk Matriks L dan Matriks U. Lalu setelah mencari

bentuk matriks L dan U kemudian dapat dicari nilai determinan matriks. Pada

proses metode crout ada beberapa iterasi yang dilakukan untuk mencari nilai pada

matriks L dan U

Terdapat beberapa Iterasi yang dilakukan untuk mencari nilai pada matriks L dan

U. Sebagai contoh :

a11 a12 a13     l11     0         0         1    u12     u13

a21 a22 a23     l21     l22     0         0     1         u23

a31 a32 a33     l31     l32     l33      0     0         1

Iterasi 1 :

L11 = a11

L21 = a21

L31 = a 31

Iterasi 2 :

U12 = a12/a11

U13 = a13/a11

Iterasi 3 :

L22 = a22 – L21U12

L32 = a32 – L31U12

Iterasi 4 :

U23 = a23 −L21U13/L22

Iterasi 5 :

L33 = a33 – L31U13 – L32 U23

Kemudian, setelah didapat matriks dekomposisi L dan U. Selanjutnya mencari

nilai determinan matriks menggunakan persamaan

det A = l11 ∗ l22 ∗ l33 ∗ ... ∗ lii

Contoh :

Cari nilai determinan dari matriks berikut :

1 3 1

1 5 5

2 7 5

1 3 1         a11 a12 a13         l11 0     0         1    u12    u13

1 5 5         a21 a22 a23         l21 l22  0        0     1     u23

2 7 5         a31 a32 a33         l31 l32 l33      0     0     1

Iterasi 1 :

L11 = a11 = 1

L21 = a21 = 1

L31 = a 31 = 2

Iterasi 2 :

U12 = a12/a11 = 3/1=3

U13 = a13/a11 = 1/1=1

Iterasi 3 :

L22 = a22 – L21U12 = 5 – 1*3 = 5 – 3 = 2

L32 = a32 – L31U12 = 7 – 2*3 = 7 – 6 = 1

Iterasi 4 :

U23 = a23 −L21U13/ L22 = 5 −1∗1/2=5 −1/2 = 4/2=2

Iterasi 5 :

L33 = a33 – L31U13 – L32 U23

= 5 – 2*1 – 1*2

= 5 – 2 – 2

= 1

Setelah selesai iterasi pada proses dekomposisi, maka didapatkan matriks L dan U

        1 0 0                      1    3    1  

  L=  1 2 0                U=  0    1    2      

        2 1 1                        0    0    1

Kemudian mencari nilai determinan pada matriksnya

|A| = l11 ∗ l22 ∗ l33

|A| = 1 * 2 * 1

|A| = 2