Sistem Persamaan Linear Eleminasi Gaus Jordan

 ELEMINASI GAUS JORDAN

    Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik yang pada metode Eliminasi Gauss diubah menjadi matrik segitiga, pada metode Eliminasi Gauss Jordan diubah menjadi matrik diagonal.

Penerapan Eliminasi Gauss-Jordan

        Eliminasi gauss-jordan akan lebih terasa bermanfaat jika sistem persamaan linear tersebut terdiri dari banyak persamaan dan variabel, semisal sistem tersebut mempunyai 5 persamaan dan 5 variabel di dalamnya. Selain itu, eliminasi gauss dan eliminasi gauss-jordan juga dapat diterapkan pada sistem persamaan taklinear tertentu.

Sebenarnya pemecahan SPL dengan metode eliminasi gauss-jordan  terdapat 3 contoh unik (solusi tunggal, banyak solusi dan tidak punya solusi). Ketiga contoh tersebut dikerjakan dengan prosedur eliminasi gauss-jordan yang dilakukan secara jelas dan runtut.

Untuk menyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Eleminasi Gauss Jordan pada matriks menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE)

Adapun yang dapat dilakukan pada OBE adalah :

1. Melakukan pertukaran baris (Bi Bj)

2. Mengalikan baris dengan konstanta dan konstanta tidak boleh 0 (nol) (kBi => Bi)

3. Mengalikan baris dengan konstanta dan menambahkan dengan baris lainnya (kRi + Rj => Rj)

Contoh 1 (Linear)

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :

$x+2y-3z=4$
$3x-y+5z=2$
$4x+y+(k^2 -14)z=k+2$

Tentukan nilai $k$ agar SPL di atas :

1. Tidak mempunyai penyelesaian;
2. Tepat mempunyai satu penyelesaian;
3. Mempunyai tak hingga banyak penyelesaian;

Penyelesaian :

Pertama kita representasikan sistem persamaan linear tersebut kedalam bentuk matriks :

$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&-1&5\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\2\\k+2\end{array}}\right]$

Langkah 1

Karena pada baris pertama sudah terdapat 1 utama, kita akan menyederhanakan baris ke-2 dengan operasi $-3R_{1}+R_{2}\rightarrow R_{2}$, sehingga diperoleh :

$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&-1&5\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\2\\k+2\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k+2\end{array}}\right]$

Kemudian dilanjut penyederhanaan pada baris ke-3 dengan operasi $-4R_{1}+R_{3}\rightarrow R_{3}$, didapat :

$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\4&1&k^2 – 14\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k+2\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k-14\end{array}}\right]$

Langkah 2

Kita buat 1 utama pada baris ke-2 dengan operasi $-\frac{1}{7}R_{2} \rightarrow R_{2}$ dan kita peroleh :

$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-7&14\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\-10\\k-14\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-14\end{array}}\right]$

Selanjutnya kita sederhanakan baris ke-3 dengan operasi $7R_{2} +R_{3}\rightarrow R_{3}$

$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&-7&k^2 – 2\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-14\end{array}}\right]\rightarrow \left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&0&k^2 – 16\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-4\end{array}}\right]$

Langkah 3

Karena tujuan kita akan mengidentifikasi nilai $k$, maka kita cukup fokus pada baris ke-3. apabila diubah kembali kedalam bentuk sistem persamaan linear maka :

$\left[{\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&1&-2\\0&0&k^2 – 16\end{array}}\right|\left.{\begin{array}{c}4\\\frac{10}{7}\\k-4\end{array}}\right]\rightarrow \begin{array}{c}x+2y-3z=4\\y-2z=\frac{10}{7}\\(k^2 -16)z=k-4\end{array}$

Perhatikan pada persamaan ketiga :

$(k^2 – 16)z = k-4$

$\Leftrightarrow (k-4)(k+4)z=k-4$

$\Leftrightarrow (k-4)(k+4)z -(k-4)=0$

$$\iff (k-4)((k+4)z-1)=0$$

Kita bagi menjadi 2 kasus :

Kasus 1

Jika $k-4=0$ atau $k=4$ maka jika disubstitusikan ke persamaan ke-3 diperoleh :

$0(8z-1)=0$

Mengingat sifat sembarang bilangan jika dikalikan nol akan bernilai nol maka nilai dari $8z-1$ mempunyai tak hingga kemungkinan. Dapat dimisalkan $n=8z-1$ atau $8z=n+1\Leftrightarrow z=\frac{n+1}{8}$ untuk sembarang bilangan $n$. Akibatnya sistem persamaan linear tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian.

Kasus 2

Jika $(k+4)z-1= 0$ maka :

$(k+4)z =1$

$\Leftrightarrow z=\frac{1}{k+4},~\text{dengan}~k\neq -4$

Dari persamaan di atas, sistem tersebut akan konsisten (mempunyai solusi baik tunggal ataupun banyak) jika nilai dari $k \neq -4$. Dari pernyataan-pernyataan di atas dan sebelumnya, jika kita menginginkan sistem tersebut mempunyai solusi tunggal maka haruslah 

$k\neq \{-4,4\}$. Sedangkan jika menginginkan sistem tersebut tidak mempunyai solusi maka haruslah $k=-4$.

Kesimpulan

1. SPL tersebut akan tidak mempunyai solusi jika $k=-4$
2. SPL tersebut akan mempunyai tak hingga solusi jika $k=4$
3. SPL tersebut akan mempunyai solusi tunggal jika $$k\neq \{-4,4\}