Determinan Matriks

        DETERMINAN MATRIKS

        Matriks adalah susunan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang. Matriks juga dapat berbentuk persegi dengan ukuran 2×2, 2×3, 3×3, 4×4, dan masih banyak lagi. Matriks tidak jauh berbeda dengan bilangan  karena dapat dioperasikan dengan berbagai macam operasi seperti perkalian, penjumlahan, pengurangan dan transpose. Dengan menyusun matriks, perhitungan bilangan dapat dilakukan dengan lebih tersusun.

determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Apabila matriksnya berbentuk 2 × 2, rumus untuk mencari determinan adalah:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}}$

Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, rumusnya adalah:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}$

Metode eliminasi Gauss juga dapat dipakai. Sebagai contoh, determinan matriks berikut:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}$

dapat dihitung dengan menggunakan matriks berikut:

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\2&0&-1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\0&2&-4\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&2&-4\\0&0&4.5\end{bmatrix}}.}$

Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris kedua, sehingga det(A) = det(B). C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga det(C) = det(B). Sementara itu, D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga det(D) = −det(C). Determinan matriks segitiga D merupakan hasil dari perkalian diagonal utamanya: (−2) · 2 · 4.5 = −18. Maka dari itu, det(A) = −det(D) = +18.

Cara Mencari Determinan Matriks

        Determinan adalah nilai yang dihitung dari unsur-unsur sebuah matriks persegi. Matriks persegi sendiri adalah matriks yang memiliki banyak baris dan kolom yang sama, sehingga bentuknya terlihat seperti persegi. Cara menentukan determinan matriks akan berbeda pada tiap ordo. Nah di bawah ini kita akan membahasnya satu per satu.

Determinan Matriks Berordo 2 x 2

 Contoh matriks dengan ordo 2 x 2  :

Matriks A merupakan matriks dengan ordo 2 × 2 memiliki elemen a dan d yang terletak pada diagonal utama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Nilai determinan A, disimbolkan dengan [A], merupakan suatu bilangan yang diperoleh dengan cara mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Rumus yang digunakan adalah:    Det (A) = |A| = ad – bc

Contoh Soal Determinan Matriks Berordo 2 x 2

1. Tentukan determinan dari matriks berikut ini!

penyelesaian:

dengan rumus di atas:

Det (A) = |A| = ad – bc

|A| = (5 x 6) – (2 x 4)

|A| = 30 – 8

|A| = 22

 

Determinan Matriks Berordo 3 x 3

Matriks berordo 3×3 adalah matriks berbentuk persegi dengan banyak kolom dan baris sama yaitu tiga. Bentuk umum matriks berordo 3×3 :

Untuk menghitung determinan matriks berordo 3×3, bisa menggunakan aturan Sarrus. dengan gambar dibawah ini:

Contoh Soal Determinan Matriks Berordo 3×3

Untuk dapat memahami determinan matriks berordo 3 x 3, berikut contoh determinan matriks berordo 3x3:

1. Tentukan determinan dari matriks di bawah ini!

penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal di atas, maka kita akan menggunakan aturan Sarrus.

|A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi

|A| = (1x5x6) + (4x2x1) + (1x2x3) – (1x5x1) – (1x2x3) – (4x2x6)

|A| = 30 + 8 + 6 – 5 – 6 – 48

|A| = -15